ТемаКол-во заданий1. Про­стей­шие текстовые задачи 

Вычисления просмотреть (23 шт.)  
Округ­ле­ние с недостатком просмотреть (8 шт.)  
Округление с избытком просмотреть (21 шт.)  
Проценты просмотреть (23 шт.)  
Проценты и округление просмотреть (9 шт.)  

2. Чтение графиков и диаграмм 

Определение величины по графику просмотреть (22 шт.)  
Определение величины по диаграмме просмотреть (17 шт.)  
Вычисление величин по графику или диаграмме просмотреть (9 шт.)  

3. Квадратная решётка, координатная плоскость 

Многоугольники: вычисление длин и углов просмотреть (21 шт.)  
Многоугольники: вычисление площадей просмотреть (52 шт.)  
Круг и его элементы просмотреть (13 шт.)  
Координатная плоскость просмотреть (25 шт.)  

4. Начала теории вероятностей 

Классическое определение вероятности просмотреть (51 шт.)  
Теоремы о вероятностях событий просмотреть (30 шт.)  

5. Простейшие уравнения 

Линейные, квадратные, кубические уравнения просмотреть (10 шт.)  
Рациональные уравнения просмотреть (13 шт.)  
Иррациональные уравнения просмотреть (14 шт.)  
Показательные уравнения просмотреть (17 шт.)  
Логарифмические уравнения просмотреть (15 шт.)  
Тригонометрические уравнения просмотреть (3 шт.)  

6. Планиметрия 

Решение прямоугольного треугольника просмотреть (47 шт.)  
Решение равнобедренного треугольника просмотреть (44 шт.)  
Треугольники общего вида просмотреть (25 шт.)  
Параллелограммы просмотреть (29 шт.)  
Трапеция просмотреть (24 шт.)  
Центральные и вписанные углы просмотреть (8 шт.)  
Касательная, хорда, секущая просмотреть (11 шт.)  
Вписанные окружности просмотреть (22 шт.)  
Описанные окружности просмотреть (27 шт.)  

7. Производная и первообразная 

Физический смысл производной просмотреть (6 шт.)  
Геометрический смысл производной, касательная просмотреть (19 шт.)  
Применение производной к исследованию функций просмотреть (27 шт.)  
Первообразная просмотреть (5 шт.)  

8. Стереометрия 

Куб  просмотреть (12 шт.)  
Прямоугольный параллелепипед  просмотреть (28 шт.)  
Элементы составных многогранников просмотреть (15 шт.)  
Площадь поверхности составного многогранника просмотреть (18 шт.)  
Объем составного многогранника просмотреть (17 шт.)  
Призма  просмотреть (48 шт.)  
Пирамида  просмотреть (65 шт.)  
Комбинации тел просмотреть (35 шт.)  
Цилиндр  просмотреть (17 шт.)  
Конус просмотреть (28 шт.)  
Шар просмотреть (7 шт.)  

9. Вычисления и преобразования 

Преобразования числовых рациональных выражений просмотреть (6 шт.)  
Преобразования алгебраических выражений и дробей просмотреть (23 шт.)  
Преобразования числовых иррациональных выражений просмотреть (17 шт.)  
Преобразования буквенных иррациональных выражений просмотреть (11 шт.)  
Вычисление значений степенных выражений просмотреть (18 шт.)  
Действия со степенями просмотреть (32 шт.)  
Преобразования числовых логарифмических выражений просмотреть (31 шт.)  
Преобразования буквенных логарифмических выражений просмотреть (4 шт.)  
Вычисление значений тригонометрических выражений просмотреть (29 шт.)  
Преобразования числовых тригонометрических выражений просмотреть (36 шт.)  
Преобразования буквенных тригонометрических выражений просмотреть (3 шт.)  

10. Задачи с прикладным содержанием 

Линейные уравнения и неравенства просмотреть (3 шт.)  
Квадратные и степенные уравнения и неравенства просмотреть (16 шт.)  
Рациональные уравнения и неравенства просмотреть (14 шт.)  
Иррациональные уравнения и неравенства просмотреть (9 шт.)  
Показательные уравнения и неравенства просмотреть (4 шт.)  
Логарифмические уравнения и неравенства просмотреть (4 шт.)  
Тригонометрические уравнения и неравенства просмотреть (16 шт.)  
Разные задачи просмотреть (5 шт.)  

11. Текстовые задачи 

Задачи на проценты, сплавы и смеси просмотреть (16 шт.)  
Задачи на движение по прямой просмотреть (28 шт.)  
Задачи на движение по окружности просмотреть (5 шт.)  
Задачи на движение по воде просмотреть (14 шт.)  
Задачи на совместную работу просмотреть (24 шт.)  
Задачи на прогрессии просмотреть (9 шт.)  

12. Наибольшее и наименьшее значение функций 

Исследование степенных и иррациональных функций просмотреть (54 шт.)  
Исследование частных просмотреть (11 шт.)  
Исследование произведений просмотреть (28 шт.)  
Исследование показательных и логарифмических функций просмотреть (22 шт.)  
Исследование тригонометрических функций просмотреть (28 шт.)  
Исследование функций без помощи производной просмотреть (15 шт.)  

13 (C1). Уравнения 

Рациональные и иррациональные уравнения просмотреть (5 шт.)  
Ло­га­риф­ми­че­ские и по­ка­за­тель­ные уравнения просмотреть (16 шт.)  
Тригонометрические уравнения просмотреть (71 шт.)  
Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ просмотреть (58 шт.)  
Уравнения смешанного типа просмотреть (38 шт.)  

14 (C2). Стереометрическая задача 

Расстояние между прямыми и плоскостями просмотреть (0 шт.)  
Расстояние от точки до прямой и до плоскости просмотреть (0 шт.)  
Сечения многогранников просмотреть (0 шт.)  
Угол между плоскостями просмотреть (0 шт.)  
Угол между прямой и плоскостью просмотреть (0 шт.)  
Угол между скрещивающимися прямыми просмотреть (0 шт.)  
Объёмы многогранников просмотреть (100 шт.)  
Круглые тела: цилиндр, конус, шар просмотреть (0 шт.)  

15 (C3). Неравенства 

Рациональные неравенства просмотреть (51 шт.)  
Иррациональные неравенства просмотреть (14 шт.)  
Показательные неравенства просмотреть (84 шт.)  
Логарифмические неравенства просмотреть (52 шт.)  
Неравенства с логарифмами по переменному основанию просмотреть (82 шт.)  
Неравенства с модулем просмотреть (13 шт.)  
Смешанные неравенства просмотреть (64 шт.)  

16 (C4). Планиметрическая задача 

Многоугольники и их свойства просмотреть (44 шт.)  
Окружности и системы окружностей просмотреть (10 шт.)  
Окружности и треугольники просмотреть (21 шт.)  
Окружности и четырёхугольники просмотреть (22 шт.)  

17 (C5). Финансовая математика 

Задачи на оптимальный выбор просмотреть (44 шт.)  
Банки, вклады, кредиты просмотреть (98 шт.)  

18 (C6). Задача с параметром 

Комбинация «кривых» просмотреть (8 шт.)  
Комбинация прямых просмотреть (7 шт.)  
Координаты (x, a) просмотреть (13 шт.)  
Кусочное построение графика функции просмотреть (10 шт.)  
Левая и правая части в качестве отдельных графиков просмотреть (8 шт.)  
Перебор случаев просмотреть (38 шт.)  
Подвижная галочка просмотреть (4 шт.)  
Расстояние между точками просмотреть (6 шт.)  
Симметрия в решениях просмотреть (13 шт.)  
Уравнение окружности просмотреть (22 шт.)  
Функции, зависящие от параметра просмотреть (11 шт.)  
Уравнения с параметром просмотреть (5 шт.)  
Расположение корней квадратного трехчлена просмотреть (7 шт.)  
Использование симметрий, оценок, монотонности просмотреть (27 шт.)  

19 (C7). Числа и их свойства 

Числа и их свойства просмотреть (82 шт.)  
Числовые наборы на карточках и досках просмотреть (28 шт.)  
Последовательности и прогрессии просмотреть (38 шт.)  
Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки просмотреть (39 шт.)  

Дополнительные задания для подготовки (не входят в ЕГЭ этого года)Д1. Выбор оптимального варианта 

Выбор варианта из двух возможных просмотреть (5 шт.)  
Выбор варианта из трех возможных просмотреть (24 шт.)  
Выбор варианта из четырех возможных просмотреть (5 шт.)  

Д2. Планиметрия: вычисление длин и площадей 

Координатная плоскость просмотреть (76 шт.)  
Окружности просмотреть (11 шт.)  
Четырехугольники просмотреть (21 шт.)  
Треугольники просмотреть (8 шт.)  

Д3. Планиметрия 

Вычисление длин и площадей. Прямоугольник просмотреть (1 шт.)  
Вычисление длин и площадей. Треугольники просмотреть (0 шт.)  
Вычисление длин и площадей. Параллелограммы просмотреть (0 шт.)  
Вычисление длин и площадей. Трапеции просмотреть (3 шт.)  
вычисление длин и площадей. Произвольный четырехугольник просмотреть (0 шт.)  
Вычисление длин и площадей. Вписанная и описанная окружности просмотреть (0 шт.)  
Вычисление длин и площадей. Ромб просмотреть (0 шт.)  
Вычисление длин и площадей. Векторы просмотреть (0 шт.)  
Вычисление длин и площадей. Многоугольник просмотреть (1 шт.)  
Задачи, связанные с углами. Задачи на многоугольники и окружности просмотреть (51 шт.)  
Задачи, связанные с углами. Применение тригонометрии просмотреть (169 шт.)  

Д4. Задачи с прикладным содержанием 

Тригонометрические уравнения и неравенства просмотреть (2 шт.)  

Д5 C1. Сложные уравнения, си­сте­мы уравнений 

Системы тригонометрических уравнений просмотреть (24 шт.)  
Три­го­но­мет­ри­че­ские уравнения просмотреть (49 шт.)  
Три­го­но­мет­ри­че­ские уравнения, ис­сле­до­ва­ние ОДЗ просмотреть (95 шт.)  
Урав­не­ния смешанного типа просмотреть (17 шт.)  

Д6 C2. Стереометрическая задача 

Угол между скрещивающимися прямыми просмотреть (14 шт.)  
Угол между прямой и плоскостью просмотреть (17 шт.)  
Угол между плоскостями просмотреть (30 шт.)  
Расстояние от точки до прямой и до плоскости просмотреть (39 шт.)  
Расстояние между прямыми и плоскостями просмотреть (5 шт.)  
Сечения многогранников просмотреть (29 шт.)  
Объёмы многогранников просмотреть (6 шт.)  
Круглые тела: цилиндр, конус, шар просмотреть (10 шт.)  

Д7 C2. Сложная стереометрия 

Круглые тела просмотреть (76 шт.)  
Многогранники просмотреть (91 шт.)  

Д8 C3. Сложные неравенства 

Неравенства различных типов просмотреть (72 шт.)  

Д9 C3. Простые системы неравенств 

Системы, содержащие логарифмическое неравенство просмотреть (19 шт.)  
Рациональные, иррациональные, показательные неравенства просмотреть (36 шт.)  
Системы с логарифмами по переменному основанию просмотреть (48 шт.)  

Д10 C3. Системы сложных неравенств 

Рациональные, иррациональные, показательные неравенства просмотреть (29 шт.)  
Системы с логарифмами по переменному основанию просмотреть (30 шт.)  
Системы, содержащие логарифмическое неравенство просмотреть (21 шт.)  

Д11 C4. Сложная планиметрия 

Комбинации фигур просмотреть (52 шт.)  
Многоугольники просмотреть (32 шт.)  
Окружности просмотреть (31 шт.)  
Треугольники просмотреть (33 шт.)  

Д12 C4. Планиметрическая задача 

Многоугольники и их свойства просмотреть (26 шт.)  
Окружности и треугольники просмотреть (47 шт.)  
Окружности и четырёхугольники просмотреть (27 шт.)  
Окружности и системы окружностей просмотреть (21 шт.)  

Д13 C5. Сложные практические задачи 

Практические задачи просмотреть (53 шт.)  

Д14 C6. Сложные задачи с па­ра­мет­ром 

Уравнения с параметром просмотреть (76 шт.)  
Не­ра­вен­ства с параметром просмотреть (34 шт.)  
Системы с параметром просмотреть (42 шт.)  

Д15 C7. Сложные задания на числа и их свойства 

Последовательности и прогрессии просмотреть (19 шт.)  
Сюжетные задачи просмотреть (37 шт.)  
Числа и их свойства просмотреть (103 шт.)  

ege.sdamgia.ru

 Задача : В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 40 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Решение:  Необходимо обозначить размер платежа за x. Получается, что в первый год сумма кредита 545000 сначала увеличивается на 40% (в 1,4 раза):

545000*1,4  , а затем уменьшается на величину х:

1,4*545000-х - оставшаяся сумма на следующие года

Во второй год оставшаяся сумма так же увеличивается на 40%(в 1.4 раза) :

(1,4*545000-х)*1,4-х = 1,42*545000-1,4х-х

На третий год кредит гасится полностью по формуле: 

 1,43*545000-1,42х-1,4х-х=0

находим х: 

х*(1,42+1,4+1)=1,43*545000

х= (1,43*545000) / (1,42+2,4) = 1495480 / 4,36 = 343000

Получается, что банку выплатили 3*343000 = 1029000 руб

Ответ: 1029000 

DnevnikaNet.ru

Задачи на финансы

17 задание профильного уровня ЕГЭ по математике представляет собой задачу, связанную с финансами, а именно эта задача может быть на проценты, часть долгов и др. Сложность заключается в том, что необходимо рассчитать проценты или часть на длительном промежутке, поэтому данная задача не является прямой аналогией стандартных задач на проценты. Чтобы не говорить об общем, перейдем непосредственно к разбору типовой задачи.

Разбор типовых вариантов заданий №17 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

15-го  января  планируется  взять  кредит  в  банке  на  шесть  месяцев  в размере  1  млн  рублей.

Условия его возврата таковы:

  • 1-го  числа  каждого  месяца  долг  увеличивается  на  r  процентов  по  сравнению  с  концом предыдущего месяца, где r – целое число;
  • со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • 15-го  числа  каждого  месяца  долг  должен  составлять  некоторую  сумму  в  соответствии  со следующей таблицей.
Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг (в млн рублей) 1 0.6 0.4 0.3 0.2 0.1 0

Найдите  наибольшее  значение  r,  при  котором  общая  сумма  выплат будет  меньше  1,2 млн рублей.

Алгоритм решения:
  1. Рассматриваем, какова величина выплат по кредиту ежемесячно.
  2. Определяем долг по каждому месяцу.
  3. Находим величину требующихся процентов.
  4. Определяем сумму выплат за весь период.
  5. Вычисляем процент r суммы выплат долга.
  6. Записываем ответ.
Решение:

1. По условию, долг банку ежемесячно должен уменьшаться в таком порядке:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

2. Пусть k = 1 + r / 100, тогда долг каждый месяц равняется:

k; 0,6k; 0,4k; 0,3k; 0,2k; 0,1k.

3. Значит, выплаты со 2-го по 14-е ежемесячно составляют:

k - 0.6; 0.6k - 0.4; 0.4k - 0.3; 0.3k - 0.2; 0.2k - 0.1; 0.1k

4. Вся сумма выплат равна:

По условию, весь размер выплат меньше 1,2 млн руб, следовательно,

Наибольшим целым решением получившегося неравенства является 7. Тогда оно и есть искомое – 7.

Ответ: 7%.

Второй вариант (из Ященко, №1)

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей.

Алгоритм решения задачи:
  1. Определяем величину денежного долга.
  2. Вычисляем сумму задолженности после первого взноса.
  3. Находим величину долга после второго взноса
  4. Находим искомый процент.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. В долг было взято 300 000 рублей. По условию сумма долга, подлежащего возврату увеличивается на r%, а значит в  раз. Для выплаты долга необходимо отдать банку 300000∙k.

2. После внесения платежа, равного 160 000 рублей. Остаток долга равняется

 руб.

3. На следующий год остаток тоже возрастет в k раз и составит:

Вносимая сумма равна 240 000 рублей:

 рублей.

4. Поскольку согласно условию эти выплаты погасят весь долг, получаем квадратное уравнение:

Решаем его, с помощью формул дискриминанта и корней:

5 .Среди полученных корней один отрицательный и условию не удовлетворяет. Получаем:

Таким образом, брать кредит планируется под 20% .

Ответ: 20%.

spadilo.ru